Фракталы - новый суррогат

[???]

Идеи Брюссельской школы, существенно опирающиеся на работы Пригожина, образуют новую, всеобъемлющую теорию изменений.
В сильно упрощенном виде суть этой теории сводится к следующему. Некоторые части Вселенной действительно могут действовать как механизмы. Таковы замкнутые системы, но они в лучшем случае составляют лишь малую долю физической Вселенной. Большинство же систем, представляющих для нас интерес, открыты — они обмениваются энергией или веществом (можно было бы добавить: и информацией) с окружающей средой. К числу открытых систем, без сомнения, принадлежат биологические и социальные системы, а это означает, что любая попытка понять их в рамках механической модели заведомо обречена на провал.
Кроме того, открытый характер подавляющего большинства систем во Вселенной наводит на мысль о том, что реальность отнюдь не является ареной, на которой господствует порядок, стабильность и равновесие: главенствующую роль в окружающем нас мире играют неустойчивость и неравновесность.
Если воспользоваться терминологией Пригожина, то можно сказать, что все системы содержат подсистемы, которые непрестанно флуктуируют. Иногда отдельная флуктуация или комбинация флуктуацией может стать (в результате положительной обратной связи) настолько сильной, что существовавшая прежде организация не выдержит и разрушится. В этот переломный момент (который авторы книги называют особой точкой или точкой бифуркаци) принципиально невозможно предсказать, в каком направлении будет происходить дальнейшее развитие: станет ли состояние системы хаотическим или она перейдет на новый, более дифференцированный и более высокий уровень упорядоченности или организации, который авторы называют диссипативной структурой. (Физические или химические структуры такого рода получили название диссипативных потому, что для их поддержания требуется больше энергии, чем для поддержания более простых структур, на смену которым они приходят).
Один из ключевых моментов в острых дисскусиях, развернувшихся вокруг понятия диссипативной структуры, связан с тем, что Пригожин подчеркивает возможность спонтанного возникновения порядка и организации из беспорядка и хаоса в результате процесса самоорганизации.
Обобщая, мы можем утверждать, что в состояниях, далеких от равновесия, очень слабые возмущения, или флуктуации, могут усиливаться до гигантских волн, разрушающих сложившуюся структуру, а это проливает свет на всевозможные процессы качественного или резкого (не постепенного, не эволюционного) изменения. Факты, обнаруженные и понятые в результате изучения сильно неравновесных состояний и нелинейных процессов, в сочетании с достаточно сложными системами, наделенными обратными связями, привели к созданию совершенно нового подхода, позволяющего установить связь фундаментальных наук с «переферийными» науками о жизни и, возможно, даже понять некоторые социальные процессы.

[???]

Георг Кантор -- пример математика и логика, который в своем творчестве обращался как к анализу парадоксов, так и к построению и исследованию "монстров" причем на одном и том же примере. В 1883 году Кантор публикует свою работу "Über unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten", в котором демонстрирует пример построения "монстра" -- множества точек, называемого сейчас множеством Кантора. Это множество образовано в результате бесконечного итерационного процесса, похожего на процесс построения кривой Коха (рис. 1.3.11). Кантор последовательно отбрасывал из отрезка единичной длины сначала среднюю часть, а потом средние части всех оставшихся фрагментов. Проделав эту процедуру бесконечное число раз, великий логик рассмотрел свойства получившегося множества точек -- так называемой канторовой пыли. Кантор показал, парадоксальность этого "монстра". Мощность получившегося множества точек оказалась равной мощности множества точек на отрезке.
   В этом примере встретились парадокс и "монстр" -- "монстр" оказался иллюстрацией парадоксального понятия мощности множества, воплощением непонятной бесконечности. Кантор пытается понять бесконечность и строит концепцию для ее описания

   Не случайным, с точки зрения изучения биографических совпадений, оказывается увлечение логикой Бернарда Больцано. В 1837 году Больцано пишет книгу "Попытка нового понимания логики", в которой он попытался ввести новую неформализованную "Про-Лейбницевскую" логику.
   Попытки поиска оснований логики предпринимал и Джузеппе Пеано -- автор кривой Пеано, исследовавший в 80-90 годах XIX века понятия числа. Пеано интересовался рекурсивными схемами -- процедурами, с помощью которых можно определить понятие числа.
   Работы Пеано оказали влияние на Бертрана Рассела, его взгляды периода "Принципов математики"

И "монстры" и парадоксы -- это контрпримеры, противоречащие существующим на данный момент парадигмам в сообществе ученых, частные случаи, разрушающие хорошо выстроенные научные представления.
   Есть совпадения в отношении научного сообщества к "монстрам" и парадоксам. Удивление, испуг, растерянность, заменялись запретами на их применение и попытками создать новую теорию, свободную от "монстров" и парадоксов -- описать логически корректные и непротиворечивые основания математики.
  
  
   Этот процесс был проанализирован Имре Лакатосом в его книге "Доказательства и опровержения". Лакатос назвал его "monster barring" - процессом "исключения монстров" - как некоторой позитивистской программы ухода от парадоксальности при исследовании геометрических и логико-математических объектов, построенных путем бесконечных рекуррентных процедур.
   Книга "Принципы математики" Б. Рассела и А. Уайтхеда с этой точки зрения предстает как попытка исключения монстров, попытка найти непротиворечивые первые принципы, основания математики, свободные от рекурсий и бесконечных кругов, заселяющих логику "монстрами". Попытка, на взгляд Лакатоса, неудачная

Есть несколько научных и философских концепций, обращающихся одновременно и к математическим монстрам, и к логическим парадоксам.
   Во-первых, это теория хаоса и концепция сложности (complexity), синергетическая парадигма, которые приводят парадоксы в качестве результата "линейного" мышления. "Монстры" в этих концепциях - формы нового, "нелинейного" мира.
   Во-вторых, это концепция автопоэзиса, бурно развиваемая сейчас философами, биологами и социологами, основателями которой считаются чилийские биологи и эпистемологи Умберто Матурана и Франциско Варела4. Франциско Варела в своих работах приводил монстры и парадоксы в качестве моделей саморазвивающихся, самодостраивающихся автопоэтических систем5.
  
   Многие статьи У. Матураны и Ф. Варелы присутствуют в ИНТЕРНЕТ. В качестве отправной точки можно сходить на сервер www.synergetic.ru, где присутствуют обзоры и библиография работ.

Полный текст статьи здесь
http://lit.lib.ru/w/wladislaw_t/

[???]

Пожалуй я буду выкладывать свои спорные взгляды на этот вопрос не ожидая ни согласия ни возражений. -)

[iv2259]

Не обладаю истиной



   

Затрудняюсь оценить "в общем" к чему это приведет , я думаю разных людей к разному.
Фракталы просто существуют вне зависимости используем мы их для описания чего либо или нет.      Хорошо,видимо,что не обладаете(истиной)-обладальцы плотют своим психическим здоровием(она, истина,обычно нехороша, на вид).Фракталы-существуют-??? Тут как с Богом,либо Его нет,либо это-парадоксальная концепция.Мерить действительность(т.н.реальность)можно чем угодно-стаканами,фрукталами,пудами-она(действительность)от этого ведь не переменится.Вот за себя,любимых стоит побеспокоится,жизнь-не пазлы,так просто не сложится...(хотя на вид картинка может быть и красивой).Вот книжицы,представленные Вами,прочту,поговорим содержательнее.(а пока,к сож.-вот так-с ножа) Темица то интересна,с подковыкою.

[???]

Затрудняюсь оценить "в общем" к чему это приведет , я думаю разных людей к разному.
Фракталы просто существуют вне зависимости используем мы их для описания чего либо или нет.

[iv2259]

Самоподобие - достаточно старая идея. Так, например, русские матрешки напоминают нам о гипотезе самоподобных гомункулюсов, которые существовали еще в яичниках Евы, представляя собой все будущие поколения человечества. В XVIII столетии А. фон Халлер и др. развили эту гипотезу в серьезную теорию “преформации” (предварительного формирования).Самоподобие-более чем "старая идея"-скорее-архетипическая донельзя,одна из "неправильных" основ нашего мышления-видения(на мой взгляд)-один из способов "стереотипирования" мира.При всей"удобности" фракталов и "красоте"(годной,нмв,лишь для галстуков и наволочек),кроется тут одна пребольшая маленькая ошибка.Поясню(я глубоко не математик,а совсем наоборот-художник,даже уравнения вижу как картинки-гармонично или нет...)-каждый,называемый "фракталом"-это некая сущность(нмв) и имеет свою НЕПОВТОРИМУЮ судьбу,в задачах технических,фракталы,удобно,конечно,но эта неправильная(хоть и полезная)ошибка ,неизбежно приведёт нас к той же печке,от которой плясали-к "объяснению мира"-а не к нему самому...(вот пока так.)

[???]

Не нашел возможности вставить файл или изображения.
Но может и к лучшему.
Достаточно набрать в яндексе "фрактал", выдаст массу картинок.
Красиво -)

[???]

http://rusnauka.narod.ru/

Самоподобие - достаточно старая идея. Так, например, русские матрешки напоминают нам о гипотезе самоподобных гомункулюсов, которые существовали еще в яичниках Евы, представляя собой все будущие поколения человечества. В XVIII столетии А. фон Халлер и др. развили эту гипотезу в серьезную теорию “преформации” (предварительного формирования). Его теория не получила тогда признания, что, возможно, было одной из причин того, что самоподобные структуры игнорировались вплоть до начала 70-х годов нашего века, когда они были переоткрыты и вызвали новый прилив энтузиазма. Независимо (и почти одновременно) К. Г. Вильсон в физике (теория перенормировок) и Б. Б. Мандельброт в математике (фрактальная геометрия) восстановили в правах структуры такого типа и создали тем самым новые методы, существенно расширившие наши представления о мыслимых формах.

Эти работы позволили провести тесную связь между физикой фазовых переходов и математикой фрактальных множеств типа множества Жюлиа. В настоящее время неизвестно, является ли это простым совпадением или же отражает существенные свойства фазовых переходов. Фрактальность и самоподобие фазовых границ вполне может оказаться неслучайным.

Фракталы - понятие, которое возникло в конце 80-х годов благодаря работам Б. Мандельброта [3]. Согласно его собственному пробному определению фрактал - это структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому [4]. Иными словами, вырезав небольшую часть из структуры, имеющей свойства фрактальности, мы можем рассмотреть ее в некотором увеличении и обнаружить, что она подобна всей структуре в целом. Вырезав еще более мелкую часть из уже вырезанной части и увеличив ее, мы обнаружим, что и она подобна первоначальной структуре. Если рассматривать идеальную фрактальную структуру, такую операцию мы можем проделывать до бесконечности, и даже самые микроскопические частички будут подобны структуре в целом. Реальные же объекты имеют довольно четко ограниченный интервал масштабов, в которых они проявляют свою фрактальную природу.

Распространенность фрактальных структур в природе невообразима. Фрактальны пористые минералы и горные породы; расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая и др. системы в организмах животных и человека; реки, облака, линия морского побережья, горный рельеф и многое другое. Мало того, фрактальны практически все поверхности твердых тел. В последнее время появляются теории фрактального строении физического вакуума.

Свойство частей быть подобными всей структуре в целом называют самоподобием. Интервал самоподобия различных природных объектов может содержать масштабы от долей микрометра при рассмотрении структуры пористых горных пород [5] и сплавов металлов до десятков километров при рассмотрении рельефа местности [6] и формы облаков. В качестве примеров естественных (природных) фракталов можно привести деревья, облака, реку и разветвленную сеть ее притоков, систему кровообращения человека, "морозные" узоры на стекле и т.д. Самоподобие предполагает, что копирование и масштабирование некоторого "эталонного" образа позволяет природе легко создавать сложную многомасштабную структуру.

Другим важным свойством фракталов является их иерархичность, т.е. способность повторяться в разных масштабах пространства и времени. Однако, существует четкий критерий принадлежности объекта к фракталам - объект нельзя считать фрактальным, если он не обладает свойством самоподобия, но можно - если он не иерархичен.

[???]

                   Спасибо,кстати,за подсказки и книги.

Рад оказаться полезным ))

[iv2259]

Очень интересная и серьезная штука эта фрактальная геометрия.
Много спекуляций на тему ее применимости в разных областях, это да))))
Но это обычное дело для журналистов)))Вот это и насмешило,что ни день,то истина(которую тут же надо применять везде,от лечения насморка и до макроэкономики).А прорыв действительно великолепный,очередная ступень к реальности.По сути-новый договор- объяснение окружающего.Похожий происходил в живописи во второй половине 19 в.,событие мало заметное,с т.зрения неспециалистов,тем не менее начавшее(или,скажем отразившее) переворот в видении и осмыслении окружающего мира,"незаконченный" и по сю пору.                   Спасибо,кстати,за подсказки и книги.

[???]

Развитие теории динамического хаоса серьезно изменило отношение многих к детерминистской модели вселенной

[???]

Мы конечно не математики,уж тем более не геометры,но это
   ГЕОМЕТРИЯ 21 ВЕКА   

Очень интересная и серьезная штука эта фрактальная геометрия.
Много спекуляций на тему ее применимости в разных областях, это да))))
Но это обычное дело для журналистов))))
А на самом деле великолепный прорыв в вопросе предсказуемости любой системы.
Одно из следствий развития теории фракталов - теория динамического хаоса.
Если на пальцах, то большинство систем так или иначе предсказуемы на некоторых участках существования до точек бифуркации  и совершенно не предсказуемы после прохождения этих точек.
То есть "свобода" изначально заложена в обоих теориях
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D0%B1%D0%B8%D1%84%D1%83%D1%80%D0%BA%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%B8
 

Ну и как следствие этих теорий, в некоторых точках развития социальных систем (точка бифуркации)  от деятельности даже незначительной группы индивидуумов ( а в пределе даже от поступка одного человека) зависит дальнейшая траектория системы.
А вне этих точек факторы деятельности этой группы нет смысла даже принимать во внимание. Они не окажут на систему ни малейшего воздействия.
Итак - ВРЕМЯ, МЕСТО, люди.
Турбулентность - динамический хаос и фракталы.
Множество сложных химических реакций так же протекают по непредсказуемому сценарию и зависят на первый взгляд от невероятно незначительных флуктуаций.
Климат - достаточно известный "эффект бабочки"

Так что фрактальная геометрия на мой взгляд из реальной жизни.
Лучшая ( на мой взгляд) популярная книга по этой тематике "Порядок из Хаоса" Пригожин И.,Стенгерс И. Не перегружена формулами, совершенно доступный язык. Фантастическое ощущение от видения вопроса.
Тем кого может эта тема заинтересовать можно прочитать еще Б.Мандельброт "Фрактальная геометрия природы", тоже вполне доступным языком написана и интересно.

Рекомендую всем нематематикам.
ИМХО.

[iv2259]

Мы конечно не математики,уж тем более не геометры,но это -    
   
   ГЕОМЕТРИЯ 21 ВЕКА   
   
   
   

Для многих хаологов, изучение хаоса и фракталов не просто новая область познания, которая объединяет математику, теоретическую физику, искусство и компьютерные технологии — это революция. Это открытие нового типа геометрии, той геометрии, которая описывает мир вокруг нас и которую можно увидеть не только в учебниках, но и в природе и везде в безграничной вселенной.
   
   

Пионером в этой новой области познания, которого многие называют отцом фракталов был Франко-Американский математик Профессор Бенуа Б. Мандельброт (Benoit B. Mandelbrot). В середине 1960х после десятилетий обучения и научной деятельности, Мандельброт разработал то, что он назвал фрактальная геометрия или геометрия природы (об этом он написал свой бестселлер — Фрактальная геометрия природы). Целью фрактальной геометрии был анализ сломанных, морщинистых и нечетких форм. Мандельброт использовал слово фрактал, потому что это предполагало осколочность и фракционность этих форм.
   
   

Сегодня Мандельброт и другие ученые, такие как Клиффорд А. Пикковер (Clifford A. Pickover), Джеймс Глейк (James Gleick) или Г. О. Пейтген (H.O. Peitgen) пытаются расширить область фрактальной геометрии так, чтобы она могла быть применена практически ко всему в мире, от предсказания цен на рынке ценных бумаг до совершения новых открытий в теоретической физике.http://www.ghcube.com/fractals/general.html                                         -просто ужас!Опять своими циркулями лезут в народ,чтобы обмануть правду,пытаясь обойтись без метафизики,проще говоря без философии,распространить свои лжеправдивые изыскания(возможно, полезные для получения технических результатов) на всю нашу жизнь.Мелкие ошибки,которые потом произойдут,назовут издержками процесса,ну,что там действительно,пара экономик обвалится,ну не учли "фактор свободы",который потом они же и изобретут,а книжечки почитать, да подумать - лениво,да и некогда - экстаз,жилу надо разрабатывать,пока не закрыли...(вот такая полушутливая реакция может произойти в теле необразованного человека и даже - перекинуться в мозг).   

Три участника одного семинара остановились в гостинице. Инженер проснувшийся от запаха гари, выйдя в коридор увидел огонь. Он сорвал со стены огнетушитель и, обильно полив источник пламени, с чувством выполненного долга пошел спать.
   
   

Физик, проснувшись от запаха гари, выглянул в коридор и вернулся к себе в номер, где рассчитал скорость распространения огня, температуру, давление воды в огнетушителе и пр., после чего опять вышел и потушил пожар за наименьшее возможное время, затратив минимально необходимое количество пенного раствора.
   
   

Математик проснулся, выглянул в коридор, увидел висящий огнетушитель, воскликнул: "Решение проблемы существует!" — и ушел спать.